Matematikai logika: ítéletek, műveletek, kifejezések


A logika tudománya a gondolkodással foglalkozik, pontosabban a gondolkodás formáival. A gondolkodás formái: a fogalom és az ezekből felépülő ítélet. Az ítélet állítást vagy predikátumot jelent. A gondolkodási folyamat fogalmakkal és ítéletekkel végzett műveletek sorozata. Gondolkodásunkban egész sor olyan következtetési módot használunk, amelyekről tudjuk, hogy helyes, igaz eredményekre vezetnek, ha helyes, igaz ítéletekből indultunk ki. A matematikai logika tárgya formalizált ítéletek bonyolult összetett összefüggéseinek vizsgálata. A matematikai logika a gondolkodás általános összefüggéseit matematikai módszerrel vizsgálja.

Az ítélet olyan szavakkal, vagy más szimbólumokkal kifejezett ‘mondat’, ‘objektum’, amely igaz, vagy hamis. Minden ítélethez tartozik egy igaz vagy hamis jelző, ezeket az ítélet logikai értékének nevezzük. Az ítéleteket latin betűkkel jelöljük, gyakran logikai változóknak nevezzük őket (TRUE, FALSE). Az ítéleteket szöveggel adjuk meg.

Pl. A: Hull a hó.   B: 1>0. C: Ha BÉR > 50000, AKKOR SZJA = 0.

A és B egyszerű ítéletek, mert ezek nem bonthatók fel további ítéletekre. C összetett ítélet, mert több ítéletet tartalmaz. Az ítéletek között elvégzett műveletek eredménye egy új ítélet, amelynek logikai értéke a műveletben szereplő ítéletek logikai értékétől függ. Az ítéletekkel végzett műveleteket logikai műveleteknek nevezzük.

Logikai alapműveletek: (a halmazok szabályai érvényesek) A logikai műveleteket ítéletek, logikai változók között definiáljuk. Legegyszerűbben úgy adhatjuk meg a műveleteket, hogy táblázatba foglaljuk. Ezeket a táblázatokat igazságtáblázatoknak hívjuk. A logikai műveleteket ítéletkalkulusnak is szoktuk nevezni.

1. Negáció: egy operandusos logikai művelet, egy állítás logikai értékét ellenkezőjére változtatja. Jele: Ø (1.).

2.  Konjunkció: két ítélet összekapcsolása, logikai ÉS, vagy logikai szorzás. Logikai értéke akkor és csak akkor igaz, ha mindkét ítélet logikai értéke igaz. Jele: Ù (2.).

3.  Diszjunkció: ‘vagy A, vagy B’ – vagy az egyik, vagy a másik igaz, de a kettő együtt nem lehet igaz (kizáró vagy). ‘A vagy B’ – vagy az egyik, vagy a másik igaz, de mindkettő is lehet igaz. Jele: Ú (3.).

4.  Implikáció: a leggyakoribb logikai kapcsolat, ha az egyik ítéletből következik a másik, de az implikációt nem korlátozzuk azokra az esetekre, amikor a két ítélet között oksági kapcsolat van. Nyelvi megfogalmazás: ‘ha A, akkor B’ vagy ‘A-ból következik B’. A: előtag, B: utótag vagy premisszának (feltétel) és konklúziónak (következmény) nevezzük. Az implikáció akkor és csak akkor hamis, ha az előtag igaz, és az utótag hamis. Jele: Þ (4.).

5.  Ekvivalencia: ha AÞB igaz, akkor a megfordítottja, BÞA lehet igaz is, hamis is. Ha e két implikáció logikai értéke megegyezik, vagyis ha a két ítélet mindig azonos értékű, akkor A ekvivalans B-vel. ‘AÛB akkor és csak akkor igaz, ha AÞB és BÞA is igaz.’ Jele: Û (5.).

A logikai műveletek tulajdonságai (logikai azonosságok):

Kommutativitás: AÙB=BÙA;   AÚB=BÚA;   AÛB=BÛA;   AÞB¹BÞA.

Asszociativitás: (AÙB)ÙC=AÙ(BÙC);              (AÚB)ÚC=AÚ(BÚC);

(AÛB)ÛC=AÛ(BÛC);     (AÞB)ÞC¹AÞ(BÞC);

Disztributivitás: (AÙB)ÚC=(AÚC)Ù(BÚC);     (AÚB)ÙC=(AÙC)Ú(BÙC);

Implikáció: AÞB=ØAÚB;

Ekvivalencia: AÛB=(AÞB)Ù(BÞA);

Tagadás: Ø(ØA)=A;   Ø(AÙB)=ØAÚØB; Ø(AÚB)=ØAÙØB; (de Morgan)

Ø(AÞB)=AÙØB;   Ø(AÛB)=ØAÛB=AÛØB;

Logikai kifejezések: a logikai műveletek kiterjeszthetők több tagra is olyan módon, hogy az összetett ítéleteket zárójelbe téve egy tagként vesszük figyelembe a műveletben Þ logikai kifejezés. A logikai kifejezésekben szereplő ítéletek a logikai változók (operandusok). Általában logikai kifejezésnek nevezzük logikai műveleti jelek, zárójelek és operandusok (ítéletek) tetszőleges sorozatát. Logikai kifejezés kiszámításának szabályai:

a.) A műveletek közti elsőbbségi sorrend (precedencia):

n elsődleges a negáció;

n másodlagos a konjunkcó;

n harmadlagos a diszjunkció;

n negyedleges az implikáció;

n ötödleges az ekvivalencia;

Minden operandus a vele szomszédos operandusok közül ahhoz tartozik, amelyhez a magasabb precedenciájú műveleti jel kapcsolja.

b.) “Balról jobbra” szabály:

Egy operandus, amelynek két oldalán egyenértékű műveleti jelek állnak, a tőle balra levő operandushoz csatlakozik. Természetesen a zárójelezés a fenti két szabály megtörésére szolgál.


Erre kerestek:

matematikai kifejezések és logikai műveletek és logikai kifejezések és logikai műveletek informatika tétel és matematikai ítéletek és ítéletek matek és matematika kifejezesek és logikai azonosságok és iteletek matematika és logikai kifejezés és

2010. március 1. | Érettségi tétel kategória Matematika érettségi tételek
Címkék:
\