A matematika érettségi megoldása

Tizenegykor befejezték az idei matematikaérettségit a középiskolás diákok: a középszintű feladatlap első részét viszonylag könnyűnek tartják a tanulók és a pedagógusok, a második szakasz összetett feladatai azonban sokaknak gondot okoztak. A középiskolai tanárok által kidolgozott helyes megoldásokat már el is olvashatja itt, az [origo]-n!


Kevesen választják az emelt szintű érettségit

Magyar nyelv és irodalom, valamint magyar, mint idegen nyelv írásbelikkel elkezdődtek hétfőn az érettségi vizsgák. Középszinten három, emelt szinten négy óráig tart a vizsga, a diákok pedig maguk oszthatják be az időt a különböző feladatok megoldására. Az emelt szintű vizsgák száma visszaesett a 2005-ös szintre, mert az egyetemek és főiskolák nem követelik meg a magasabb szintű vizsgát.


Szolgálatra hajlandó diákokról álmodik Szekeres

Egyre több középiskolában és egyetemen lehet majd katonai alapismereteket tanulni, a tárgyból érettségizni is lehet, amitől ellenállhatatlan hajlandóságot éreznek majd a fiatalok a haza szolgálatára – legalábbis a Honvédelmi Minisztérium (HM) tervei szerint. A tantárgy már most is létezik, két egyetemen és néhány középiskolában tanítják, és azért egy 3-ast átlagban hoznak a diákok még a nem katonai profilú veszprémi egyetemen is. Tiszthelyettesek, sebek, tájoló – hogyan lehet kiváltani a hazaszeretetet?


Kevesen keresnek munkát érettségi után

Akik érettségi után nem mennek egyetemre, főiskolára, azoknak csak 15 százaléka tervezi a munkába lépést. A legtöbben középfokú szakképesítést szereznének – derül ki az Országos Felsőoktatási Információs Központ kutatásából.


Német érettségi 2010 megoldások

A középszintű német érettségi megoldása:

Az emelt szintű német érettségi megoldása:


Angol érettségi 2010 megoldás

A középszintű angol érettségi megoldása:

Az emelt szintű angol érettségi megoldása:


Történelem érettségi 2010 megoldások

A középszintű történelem érettségi feladatlapja és megoldása:

Az emelt szintű történelem érettségi feladatlapja és megoldása:


Magyar és matematika érettségi 2010 megoldások

A 2010-es magyar nyelv és irodalom érettségi megoldása és feladatlapja:

Középszint

Emelt szint

A 2010-es matematika érettségi megoldása és feladatlapja:

Középszint

Emelt szint


Magyar érettségi 2010

Hétfőn kezdődik a 2010. május-júniusi érettségi időszak. Elsőként a magyar nyelv és irodalom írásbeli érettségit írják meg a diákok emelt és középszinten. A Oktatási Hivatal adatai szerint több,mint 91 ezer diák fog érettségizni magyarból középszinten összesen valamivel több, mint 1100 helyszínen és 1127 diák emelt szinten összesen 31 helyszínen. A középszintű vizsga két feladatlapból áll, aminek a megoldására összesen 240 percet kapnak a tanulók. A magyar érettségi első része egy 60 perces szövegértési, a második része pedig egy 180 perces szövegalkotási feladat. A második feladatlapot a diákok csak az első feladatlap összegyűjtése után kaphatják meg. A szövegalkotási részben 3 kérdés közül választhatnak, amelyekből az egyiket kell megválaszolni egy kb. 500-1500 szavas elemzés formájában.
Sok sikert kívánunk a magyar érettségihez!


Függvények diszkussziója

A derivált segítségével jól vizsgálható a függvény viselkedése: meg tudjuk állapítani hol nő, csökken, hol vannak lokális szélsőértékek (ahol átfodul a függvény rajza) és hol konvex hol konkáv).

Monotonitás: ha (a,b) intervallumon f differenciálható ésf’(x)>0 az a,b minden pontján akkor a függvény növekvő. H f’ negatív akkor csökkenő. Ha az érték végig 0 akkor a függvény konstans.

Szélsőérték: a diffhányados segítségével meghatározható a függvény szélsőértékei: meg kell nézni milyennek kell lennie a deriváltnak olyan pontban ahol a függvénynek szélsőértéke van, azaz mi a szélsőérték meglétének feltétele. Ha f’(x0)=0, akkor az x0 az f függvény stacionárius pontja. Ennek megléte még nem elégésges bizonyíték, hogy ott valóban szélsőértéke van a függvénynek. Két feltétel kell ehhez:

Első derivált teszt : f az a-ban differenciálható és deriváltja az a-ban  előjelet vált(két féleképp) Ha a környezetében f’(X)<0 és x<0 akkor f csökken és a-ban minumuma van, fordítva pedig maximuma.  Második derivált teszt: az a kétszer differenciálható. Ha f” >0 akkor a-ban helyi minimuam van, fordítva maximuma.

Konvex, konkáv: Az f függvény differenciálható az a pontban és van egy t érintőtengely. Ha van az a-nak olyan K környezet ahol f(x)>t(x) akkoraz f konvex az a-ban. Fordítva konkáv. Ha az (f-t) függvény az a helyen alőjelet vált akkor az f-nek az a infelxiós pontja.


Mit ért két kitérő egyenes hajlásszögén?

Két kitérő egyenes hajlásszögén a tér egy tetszőleges pontján átmenő, és az adott egyenesekkel párhuzamos egyenesek hajlásszögét értjük.


Milyen négyszöget nevez húrnégyszögnek, illetve érintőnégyszögnek?

Azokat a síknégyszögeket nevezzük húrnégyszögeknek, amelyeknek van körülírható köre. Azokat a síknégyszögeket nevezzük érintőnégyszögeknek, amelyeknek van beírható köre.


Mit ért egyenes és sík hajlásszögén két sík hajlásszögén?

a)      Azt mondjuk, hogy a síkot metsző egyenes merőleges a síkra, ha merőleges a síkra illeszkedő minden olyan egyenesre, amely átmegy az egyenes és a sík metszéspontján.
Ha az adott egyenes nem merőleges a síkra, akkor az egyenes merőleges vetülete a síkon szintén egy egyenes. Ebben az esetben az egyenes és a sík hajlásszögén az egyenes és a vetület hajlásszögét értjük.

b)      Párhuzamos síkok hajlásszöge 0.
Ha két sík nem párhuzamos egymással, akkor metszésvonaluk egy pontjában mindkét síkban merőlegest állítunk a metszésvonalra. Ekkor a két sík hajlásszögén a két merőleges szögét értjük.


Mikor nevez két síkidomot egybevágónak? Sorolja fel a háromszög egybevágóságának alapeseteit!

Két síkbeli alakzat egybevágó, ha van a síknak olyan egybevágósága, amely egyiket a másikba viszi. (Egybevágóság = távolságtartó geometriai transzformáció.)
Két háromszög egybevágó, ha
a)  oldalaik hossza páronként egyenlő,
b)  két-két oldaluk hossza páronként egyenlő, és az ezek által közbezárt szögek egyenlők,
c)  egy-egy oldaluk hossza és a rajtuk fekvő két-két szögük egyenlő,
d) két-két oldaluk hossza páronként egyenlő, és e két oldal közül a nagyobbikkal szemközti szögek egyenlők.


Osztályozza a síknégyszögeket az oldalak párhuzamossága az oldalak egyenlősége szerint!

a)  Az oldalak párhuzamossága szerint: Trapézoknak nevezzük az olyan síknégyszögeket, amelyeknek van két párhuzamos oldaluk. Szimmetrikus trapézok az olyan trapézok, amelyeknek van a párhuzamos oldalakra merőleges szimmetriatengelyük. Paralelogrammák azok a trapézok, amelyeknek két-két párhuzamos oldaluk van.
b)  Az oldalak egyenlősége szerint: Paralelogrammáknak nevezzük az olyan síknégyszögeket, amelyeknek két-két szemközti oldaluk egyenlő. Közülük azok, amelyeknek minden oldaluk egyenlő: rombuszok. Deltoidoknak nevezzük az olyan síknégyszögeket, amelyeknek két-két szomszédos oldaluk egyenlő.


Milyen ponthalmazokat nevezünk a sík egy pontjára, illetve egy egyenesére szimmetrikusnak? Soroljon fel középpontosan, illetve tengelyesen szimmetrikus háromszögeket, négyszögeket, sokszögeket!

Ha egy ponthalmazhoz található olyan O pont, amelyre vonatkozó tükörképe megegyezik az eredeti ponthalmazzal, akkor ez a ponthalmaz középpontosan szimmetrikus és az O pont az alakzat szimmetriaközéppontja.
Ha egy ponthalmazhoz található olyan  t  egyenes, amelyre vonatkozó tükörképe megegyezik az eredeti ponthalmazzal, akkor ez a ponthalmaz tengelyesen szimmetrikus és a  t  egyenes az alakzat szimmetriatengelye.
Az egyenlőszárú háromszög tengelyesen szimmetrikus – általában egy szimmetriatengelye van. Speciális eset a szabályos (egyenlő oldalú) háromszög, amelynek 3 szimmetriatengelye is van.
A deltoid, rombusz, téglalap, négyzet is tengelyesen szimmetrikusak. A deltoidnak általában egy szimmetriatengelye van, a rombusznak és a téglalapnak kettő, a négyzetnek négy.
A rombusz, téglalap,  négyzet középpontosan is szimmetrikusak. Általában a paralelogrammák középpontosan szimmetrikusak.
A trapézok általában nem szimmetrikusak, kivétel a húrtrapéz, amely tengelyesen szimmetrikus. (1 tengelye van.)
A szabályos hatszög tengelyesen és középpontosan is szimmetrikus, hat szimmetriatengelye van. Általában a szabályos N –szög tengelyesen szimmetrikus N darab szimmetriatengellyel, és ha az N páros, akkor középpontosan is szimmetrikus.


A sík mely transzformációját nevezzük középpontos tükrözésnek? Sorolja fel a középpontos tükrözés tulajdonságait!

Adott a sík egy O pontja (a tükrözés középpontja). A sík tetszőleges, O –tól különböző P pontjához az O pontra vonatkozó középpontos tükrözés azt a P’ pontot rendeli, amelyre az O pont felezőpontja a PP’ szakasznak. Az O pont képe önmaga.
A középpontos tükrözés tulajdonságai:
1 – Kölcsönösen egyértelmű leképzés.
2 – A leképzés szimmetrikus, azaz minden P pontra igaz, hogy ha a P pont képe P’ akkor a P’ pont képe P.
3 – Az O pont az egyetlen fixpont.
4 – Minden O –ra illeszkedő egyenes fix egyenes, de más fix egyenes nincs.
5 – A középpontos tükrözés távolságtartó transzformáció.
6 – A középpontos tükrözés szögtartó, azaz minden szög egyenlő nagyságú a tükörképével.
7 – A középpontos tükrözés körüljárástartó.
8 – Ha egy egyenes nem illeszkedik az O pontra akkor a képe párhuzamos vele.


A sík mely transzformációját nevezzük tengelyes tükrözésnek? Sorolja fel a tengelyes tükrözés tulajdonságait!

Adott a sík egy  t  egyenese (ez a tengely). A sík egy tetszőleges,  t  -re nem illeszkedő P pontjához a  t  tengelyre vonatkozó tengelyes tükrözés azt a P’ pontot rendeli, amelyre fennáll, hogy a PP’ szakasz felezőmerőlegese a  t  tengely. Ha a P pont illeszkedik a  t  tengelyre, akkor a P’ pont megegyezik a P ponttal.
A tengelyes tükrözés tulajdonságai:
1 – Kölcsönösen egyértelmű leképzés.
2 – A leképzés szimmetrikus, azaz minden P pontra igaz, hogy ha a P pont képe P’ akkor a P’ pont képe P.
3 – A  t  egyenes (tengely) minden pontja fixpont, de más fixpont nincs. (Fixpontnak nevezzük az olyan pontot, amelynek a képe önmaga. Fix alakzatnak nevezzük, az olyan alakzatot, amelynek a képe önmaga.)
4 – A  t  egyenes és a rá merőleges egyenesek fix egyenesek, de más fix egyenes nincs.
5 – A tengelyes tükrözés távolságtartó transzformáció.
6 – A tengelyes tükrözés szögtartó, azaz minden szög egyenlő nagyságú a tükörképével.
7 – A tengelyes tükrözés nem körüljárás tartó; minden síkidom ellenkező körüljárású, mint a tükörképe.


Mi az egybevágósági transzformáció?

Az egybevágósági transzformáció olyan geometriai transzformáció, amely távolságtartó, azaz bármely P és Q pontok esetén ha a P pont képe P’ és Q pont képe Q’ akkor P és Q távolsága megegyezik P’ és Q’ távolságával.     (A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyeknek értelmezési tartományuk és értékkészletük is ponthalmaz.)


Mit ért két kitérő egyenes távolságán?

Bizonyítható, hogy két kitérő egyeneshez egyetlen olyan egyenes van, amely mindkettőt metszi, és mindkettőre merőleges. Ezt az egyenest a két kitérő egyenes normál tranzverzálisának nevezzük. Két kitérő egyenes távolságán annak a szakasznak a hosszát értjük, amelyet a normál tranzverzálisuknak az egyenesekkel alkotott metszéspontjai határoznak meg.


Mit ért pont és egyenes távolságán

Mit ért
a) pont és egyenes távolságán;

b) párhuzamos egyenesek távolságán;

c) pont és sík távolságán;

d) párhuzamos síkok távolságán?

a)      Pont és egyenes távolságán a pontból az egyenesre bocsátott merőleges pont és egyenes közötti szakaszának hosszát értjük.

b)      Párhuzamos egyenesek távolságán az egyik egyenes valamely pontjából a másik egyenesre bocsátott merőleges két egyenes közötti szakaszának hosszát értjük.

c)      Pont és sík távolságán a pontból a síkra bocsátott merőleges pont és sík közötti szakaszának hosszát értjük.

d)      Párhuzamos síkok távolságán az egyik sík valamely pontjából a másik síkra bocsátott merőleges két sík közötti szakaszának hosszát értjük.


Hogyan definiáljuk az a valós szám pozitív egész kitevőjű hatványát?

an jelentése (ahol  a tetszőleges valós szám, n pozitív egész szám):

  • a1 = a

ha  n > 1  akkor an = olyan  n  tényezős szorzat, amelynek minden tényezője a.


Mi a számelmélet alaptétele?

Minden 1 – től különböző pozitív egész számot fel lehet bontani prímszámok szorzatára; ez a felbontás a tényezők sorrendjétől eltekintve egyértelmű. (Ez az ún. prímtényezős felbontás.)


Definiálja az egyenes arányosság és a fordított arányosság fogalmát!

Ha két változó mennyiség összetartozó értékeinek hányadosa állandó, akkor azt mondjuk, hogy a két mennyiség egymással egyenesen arányos. (Y / X = állandó)

(Ha például az egyik mennyiség duplájára növekszik, akkor a másik mennyiség is duplájára kell növekedjék. Ahányszorosára változik az egyik, ugyanannyiszoros lesz a másik is. Ha a fenti összefüggést átrendezzük, akkor az   Y = állandó × X  képletet kapjuk, tehát az Y változó lineáris függvénye X –nek. Ebből következik, hogy az
Y = f (X) függvény képe az origón átmenő egyenes.)

Ha két változó mennyiség összetartozó értékeinek szorzata állandó, akkor azt mondjuk, hogy a két mennyiség egymással fordítottan arányos. (Y × X = állandó)

(Ha például az egyik mennyiség duplájára növekszik, akkor a másik mennyiség felére kell csökkenjen. Ahányszorosára változik az egyik, ugyanannyadára csökken a másik. Ha a fenti összefüggést átrendezzük, akkor az   Y = állandó / X  képletet kapjuk, tehát az Y változó törtfüggvénye X –nek. Ebből következik, hogy az
Y = f (X) függvény képe egy origó középpontú hiperbola.)


Mit jelent az, hogy a valós számokra értelmezett összeadás és szorzás kommutatív, asszociatív, illetve a szorzás az összeadásra nézve disztributív?

Az összeadás kommutatív: bármely A és B valós számokra igaz, hogy: A + B = B + A
Az összeadás asszociatív: bármely A, B és C valós számokra igaz, hogy:  (A + B) + C = A + (B + C)
A szorzás kommutatív: bármely A és B valós számokra igaz, hogy: A × B = B × A
A szorzás asszociatív: bármely A, B és C valós számokra igaz, hogy:  (A × B) × C = A × (B × C)
A szorzás az összeadásra nézve disztributív: bármely A, B és C valós számokra igaz, hogy: (A + B) × C = A × C + B × C


Régebbi bejegyzések