A sík mely transzformációját nevezzük középpontos tükrözésnek? Sorolja fel a középpontos tükrözés tulajdonságait!

Adott a sík egy O pontja (a tükrözés középpontja). A sík tetszőleges, O –tól különböző P pontjához az O pontra vonatkozó középpontos tükrözés azt a P’ pontot rendeli, amelyre az O pont felezőpontja a PP’ szakasznak. Az O pont képe önmaga.
A középpontos tükrözés tulajdonságai:
1 – Kölcsönösen egyértelmű leképzés.
2 – A leképzés szimmetrikus, azaz minden P pontra igaz, hogy ha a P pont képe P’ akkor a P’ pont képe P.
3 – Az O pont az egyetlen fixpont.
4 – Minden O –ra illeszkedő egyenes fix egyenes, de más fix egyenes nincs.
5 – A középpontos tükrözés távolságtartó transzformáció.
6 – A középpontos tükrözés szögtartó, azaz minden szög egyenlő nagyságú a tükörképével.
7 – A középpontos tükrözés körüljárástartó.
8 – Ha egy egyenes nem illeszkedik az O pontra akkor a képe párhuzamos vele.


A sík mely transzformációját nevezzük tengelyes tükrözésnek? Sorolja fel a tengelyes tükrözés tulajdonságait!

Adott a sík egy  t  egyenese (ez a tengely). A sík egy tetszőleges,  t  -re nem illeszkedő P pontjához a  t  tengelyre vonatkozó tengelyes tükrözés azt a P’ pontot rendeli, amelyre fennáll, hogy a PP’ szakasz felezőmerőlegese a  t  tengely. Ha a P pont illeszkedik a  t  tengelyre, akkor a P’ pont megegyezik a P ponttal.
A tengelyes tükrözés tulajdonságai:
1 – Kölcsönösen egyértelmű leképzés.
2 – A leképzés szimmetrikus, azaz minden P pontra igaz, hogy ha a P pont képe P’ akkor a P’ pont képe P.
3 – A  t  egyenes (tengely) minden pontja fixpont, de más fixpont nincs. (Fixpontnak nevezzük az olyan pontot, amelynek a képe önmaga. Fix alakzatnak nevezzük, az olyan alakzatot, amelynek a képe önmaga.)
4 – A  t  egyenes és a rá merőleges egyenesek fix egyenesek, de más fix egyenes nincs.
5 – A tengelyes tükrözés távolságtartó transzformáció.
6 – A tengelyes tükrözés szögtartó, azaz minden szög egyenlő nagyságú a tükörképével.
7 – A tengelyes tükrözés nem körüljárás tartó; minden síkidom ellenkező körüljárású, mint a tükörképe.


Definiálja az egyenes arányosság és a fordított arányosság fogalmát!

Ha két változó mennyiség összetartozó értékeinek hányadosa állandó, akkor azt mondjuk, hogy a két mennyiség egymással egyenesen arányos. (Y / X = állandó)

(Ha például az egyik mennyiség duplájára növekszik, akkor a másik mennyiség is duplájára kell növekedjék. Ahányszorosára változik az egyik, ugyanannyiszoros lesz a másik is. Ha a fenti összefüggést átrendezzük, akkor az   Y = állandó × X  képletet kapjuk, tehát az Y változó lineáris függvénye X –nek. Ebből következik, hogy az
Y = f (X) függvény képe az origón átmenő egyenes.)

Ha két változó mennyiség összetartozó értékeinek szorzata állandó, akkor azt mondjuk, hogy a két mennyiség egymással fordítottan arányos. (Y × X = állandó)

(Ha például az egyik mennyiség duplájára növekszik, akkor a másik mennyiség felére kell csökkenjen. Ahányszorosára változik az egyik, ugyanannyadára csökken a másik. Ha a fenti összefüggést átrendezzük, akkor az   Y = állandó / X  képletet kapjuk, tehát az Y változó törtfüggvénye X –nek. Ebből következik, hogy az
Y = f (X) függvény képe egy origó középpontú hiperbola.)


Függvények diszkussziója

A derivált segítségével jól vizsgálható a függvény viselkedése: meg tudjuk állapítani hol nő, csökken, hol vannak lokális szélsőértékek (ahol átfodul a függvény rajza) és hol konvex hol konkáv).

Monotonitás: ha (a,b) intervallumon f differenciálható ésf’(x)>0 az a,b minden pontján akkor a függvény növekvő. H f’ negatív akkor csökkenő. Ha az érték végig 0 akkor a függvény konstans.

Szélsőérték: a diffhányados segítségével meghatározható a függvény szélsőértékei: meg kell nézni milyennek kell lennie a deriváltnak olyan pontban ahol a függvénynek szélsőértéke van, azaz mi a szélsőérték meglétének feltétele. Ha f’(x0)=0, akkor az x0 az f függvény stacionárius pontja. Ennek megléte még nem elégésges bizonyíték, hogy ott valóban szélsőértéke van a függvénynek. Két feltétel kell ehhez:

Első derivált teszt : f az a-ban differenciálható és deriváltja az a-ban  előjelet vált(két féleképp) Ha a környezetében f’(X)<0 és x<0 akkor f csökken és a-ban minumuma van, fordítva pedig maximuma.  Második derivált teszt: az a kétszer differenciálható. Ha f” >0 akkor a-ban helyi minimuam van, fordítva maximuma.

Konvex, konkáv: Az f függvény differenciálható az a pontban és van egy t érintőtengely. Ha van az a-nak olyan K környezet ahol f(x)>t(x) akkoraz f konvex az a-ban. Fordítva konkáv. Ha az (f-t) függvény az a helyen alőjelet vált akkor az f-nek az a infelxiós pontja.


Hogyan definiáljuk az a valós szám pozitív egész kitevőjű hatványát?

an jelentése (ahol  a tetszőleges valós szám, n pozitív egész szám):

  • a1 = a

ha  n > 1  akkor an = olyan  n  tényezős szorzat, amelynek minden tényezője a.


Matematikai logika: ítéletek, műveletek, kifejezések

A logika tudománya a gondolkodással foglalkozik, pontosabban a gondolkodás formáival. A gondolkodás formái: a fogalom és az ezekből felépülő ítélet. Az ítélet állítást vagy predikátumot jelent. A gondolkodási folyamat fogalmakkal és ítéletekkel végzett műveletek sorozata. Gondolkodásunkban egész sor olyan következtetési módot használunk, amelyekről tudjuk, hogy helyes, igaz eredményekre vezetnek, ha helyes, igaz ítéletekből indultunk ki. A matematikai logika tárgya formalizált ítéletek bonyolult összetett összefüggéseinek vizsgálata. A matematikai logika a gondolkodás általános összefüggéseit matematikai módszerrel vizsgálja.

Az ítélet olyan szavakkal, vagy más szimbólumokkal kifejezett ‘mondat’, ‘objektum’, amely igaz, vagy hamis. Minden ítélethez tartozik egy igaz vagy hamis jelző, ezeket az ítélet logikai értékének nevezzük. Az ítéleteket latin betűkkel jelöljük, gyakran logikai változóknak nevezzük őket (TRUE, FALSE). Az ítéleteket szöveggel adjuk meg.

Pl. A: Hull a hó.   B: 1>0. C: Ha BÉR > 50000, AKKOR SZJA = 0.

A és B egyszerű ítéletek, mert ezek nem bonthatók fel további ítéletekre. C összetett ítélet, mert több ítéletet tartalmaz. Az ítéletek között elvégzett műveletek eredménye egy új ítélet, amelynek logikai értéke a műveletben szereplő ítéletek logikai értékétől függ. Az ítéletekkel végzett műveleteket logikai műveleteknek nevezzük.

Logikai alapműveletek: (a halmazok szabályai érvényesek) A logikai műveleteket ítéletek, logikai változók között definiáljuk. Legegyszerűbben úgy adhatjuk meg a műveleteket, hogy táblázatba foglaljuk. Ezeket a táblázatokat igazságtáblázatoknak hívjuk. A logikai műveleteket ítéletkalkulusnak is szoktuk nevezni.

1. Negáció: egy operandusos logikai művelet, egy állítás logikai értékét ellenkezőjére változtatja. Jele: Ø (1.).

2.  Konjunkció: két ítélet összekapcsolása, logikai ÉS, vagy logikai szorzás. Logikai értéke akkor és csak akkor igaz, ha mindkét ítélet logikai értéke igaz. Jele: Ù (2.).

3.  Diszjunkció: ‘vagy A, vagy B’ – vagy az egyik, vagy a másik igaz, de a kettő együtt nem lehet igaz (kizáró vagy). ‘A vagy B’ – vagy az egyik, vagy a másik igaz, de mindkettő is lehet igaz. Jele: Ú (3.).

4.  Implikáció: a leggyakoribb logikai kapcsolat, ha az egyik ítéletből következik a másik, de az implikációt nem korlátozzuk azokra az esetekre, amikor a két ítélet között oksági kapcsolat van. Nyelvi megfogalmazás: ‘ha A, akkor B’ vagy ‘A-ból következik B’. A: előtag, B: utótag vagy premisszának (feltétel) és konklúziónak (következmény) nevezzük. Az implikáció akkor és csak akkor hamis, ha az előtag igaz, és az utótag hamis. Jele: Þ (4.).

5.  Ekvivalencia: ha AÞB igaz, akkor a megfordítottja, BÞA lehet igaz is, hamis is. Ha e két implikáció logikai értéke megegyezik, vagyis ha a két ítélet mindig azonos értékű, akkor A ekvivalans B-vel. ‘AÛB akkor és csak akkor igaz, ha AÞB és BÞA is igaz.’ Jele: Û (5.).

A logikai műveletek tulajdonságai (logikai azonosságok):

Kommutativitás: AÙB=BÙA;   AÚB=BÚA;   AÛB=BÛA;   AÞB¹BÞA.

Asszociativitás: (AÙB)ÙC=AÙ(BÙC);              (AÚB)ÚC=AÚ(BÚC);

(AÛB)ÛC=AÛ(BÛC);     (AÞB)ÞC¹AÞ(BÞC);

Disztributivitás: (AÙB)ÚC=(AÚC)Ù(BÚC);     (AÚB)ÙC=(AÙC)Ú(BÙC);

Implikáció: AÞB=ØAÚB;

Ekvivalencia: AÛB=(AÞB)Ù(BÞA);

Tagadás: Ø(ØA)=A;   Ø(AÙB)=ØAÚØB; Ø(AÚB)=ØAÙØB; (de Morgan)

Ø(AÞB)=AÙØB;   Ø(AÛB)=ØAÛB=AÛØB;

Logikai kifejezések: a logikai műveletek kiterjeszthetők több tagra is olyan módon, hogy az összetett ítéleteket zárójelbe téve egy tagként vesszük figyelembe a műveletben Þ logikai kifejezés. A logikai kifejezésekben szereplő ítéletek a logikai változók (operandusok). Általában logikai kifejezésnek nevezzük logikai műveleti jelek, zárójelek és operandusok (ítéletek) tetszőleges sorozatát. Logikai kifejezés kiszámításának szabályai:

a.) A műveletek közti elsőbbségi sorrend (precedencia):

n elsődleges a negáció;

n másodlagos a konjunkcó;

n harmadlagos a diszjunkció;

n negyedleges az implikáció;

n ötödleges az ekvivalencia;

Minden operandus a vele szomszédos operandusok közül ahhoz tartozik, amelyhez a magasabb precedenciájú műveleti jel kapcsolja.

b.) “Balról jobbra” szabály:

Egy operandus, amelynek két oldalán egyenértékű műveleti jelek állnak, a tőle balra levő operandushoz csatlakozik. Természetesen a zárójelezés a fenti két szabály megtörésére szolgál.


Mi a számelmélet alaptétele?

Minden 1 – től különböző pozitív egész számot fel lehet bontani prímszámok szorzatára; ez a felbontás a tényezők sorrendjétől eltekintve egyértelmű. (Ez az ún. prímtényezős felbontás.)


Mi az egybevágósági transzformáció?

Az egybevágósági transzformáció olyan geometriai transzformáció, amely távolságtartó, azaz bármely P és Q pontok esetén ha a P pont képe P’ és Q pont képe Q’ akkor P és Q távolsága megegyezik P’ és Q’ távolságával.     (A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyeknek értelmezési tartományuk és értékkészletük is ponthalmaz.)


Mikor nevez két síkidomot egybevágónak? Sorolja fel a háromszög egybevágóságának alapeseteit!

Két síkbeli alakzat egybevágó, ha van a síknak olyan egybevágósága, amely egyiket a másikba viszi. (Egybevágóság = távolságtartó geometriai transzformáció.)
Két háromszög egybevágó, ha
a)  oldalaik hossza páronként egyenlő,
b)  két-két oldaluk hossza páronként egyenlő, és az ezek által közbezárt szögek egyenlők,
c)  egy-egy oldaluk hossza és a rajtuk fekvő két-két szögük egyenlő,
d) két-két oldaluk hossza páronként egyenlő, és e két oldal közül a nagyobbikkal szemközti szögek egyenlők.


Milyen négyszöget nevez húrnégyszögnek, illetve érintőnégyszögnek?

Azokat a síknégyszögeket nevezzük húrnégyszögeknek, amelyeknek van körülírható köre. Azokat a síknégyszögeket nevezzük érintőnégyszögeknek, amelyeknek van beírható köre.


Milyen ponthalmazokat nevezünk a sík egy pontjára, illetve egy egyenesére szimmetrikusnak? Soroljon fel középpontosan, illetve tengelyesen szimmetrikus háromszögeket, négyszögeket, sokszögeket!

Ha egy ponthalmazhoz található olyan O pont, amelyre vonatkozó tükörképe megegyezik az eredeti ponthalmazzal, akkor ez a ponthalmaz középpontosan szimmetrikus és az O pont az alakzat szimmetriaközéppontja.
Ha egy ponthalmazhoz található olyan  t  egyenes, amelyre vonatkozó tükörképe megegyezik az eredeti ponthalmazzal, akkor ez a ponthalmaz tengelyesen szimmetrikus és a  t  egyenes az alakzat szimmetriatengelye.
Az egyenlőszárú háromszög tengelyesen szimmetrikus – általában egy szimmetriatengelye van. Speciális eset a szabályos (egyenlő oldalú) háromszög, amelynek 3 szimmetriatengelye is van.
A deltoid, rombusz, téglalap, négyzet is tengelyesen szimmetrikusak. A deltoidnak általában egy szimmetriatengelye van, a rombusznak és a téglalapnak kettő, a négyzetnek négy.
A rombusz, téglalap,  négyzet középpontosan is szimmetrikusak. Általában a paralelogrammák középpontosan szimmetrikusak.
A trapézok általában nem szimmetrikusak, kivétel a húrtrapéz, amely tengelyesen szimmetrikus. (1 tengelye van.)
A szabályos hatszög tengelyesen és középpontosan is szimmetrikus, hat szimmetriatengelye van. Általában a szabályos N –szög tengelyesen szimmetrikus N darab szimmetriatengellyel, és ha az N páros, akkor középpontosan is szimmetrikus.


Milyen számot nevezünk prímszámnak? Mikor mondjuk, hogy két vagy több egész szám relatív prím?

A pozitív egész számokat osztóik száma szerint három csoportba sorolhatjuk:

  • Egy osztója van: az egyetlen ilyen szám az 1.
  • Kettő osztója van (1 és önmaga): ezeket a számokat nevezzük prímszámoknak (vagy törzsszámoknak).
  • Kettőnél több osztója van: ezeket a számokat nevezzük összetett számoknak.

Két, vagy több egész szám relatív prím, ha az 1 –en és a –1 – en kívül nincs más közös osztójuk. (Ilyenkor a legnagyobb közös osztójuk az 1.)


Mit ért egyenes és sík hajlásszögén két sík hajlásszögén?

a)      Azt mondjuk, hogy a síkot metsző egyenes merőleges a síkra, ha merőleges a síkra illeszkedő minden olyan egyenesre, amely átmegy az egyenes és a sík metszéspontján.
Ha az adott egyenes nem merőleges a síkra, akkor az egyenes merőleges vetülete a síkon szintén egy egyenes. Ebben az esetben az egyenes és a sík hajlásszögén az egyenes és a vetület hajlásszögét értjük.

b)      Párhuzamos síkok hajlásszöge 0.
Ha két sík nem párhuzamos egymással, akkor metszésvonaluk egy pontjában mindkét síkban merőlegest állítunk a metszésvonalra. Ekkor a két sík hajlásszögén a két merőleges szögét értjük.


Mit ért két kitérő egyenes hajlásszögén?

Két kitérő egyenes hajlásszögén a tér egy tetszőleges pontján átmenő, és az adott egyenesekkel párhuzamos egyenesek hajlásszögét értjük.


Mit ért két kitérő egyenes távolságán?

Bizonyítható, hogy két kitérő egyeneshez egyetlen olyan egyenes van, amely mindkettőt metszi, és mindkettőre merőleges. Ezt az egyenest a két kitérő egyenes normál tranzverzálisának nevezzük. Két kitérő egyenes távolságán annak a szakasznak a hosszát értjük, amelyet a normál tranzverzálisuknak az egyenesekkel alkotott metszéspontjai határoznak meg.


Mit ért pont és egyenes távolságán

Mit ért
a) pont és egyenes távolságán;

b) párhuzamos egyenesek távolságán;

c) pont és sík távolságán;

d) párhuzamos síkok távolságán?

a)      Pont és egyenes távolságán a pontból az egyenesre bocsátott merőleges pont és egyenes közötti szakaszának hosszát értjük.

b)      Párhuzamos egyenesek távolságán az egyik egyenes valamely pontjából a másik egyenesre bocsátott merőleges két egyenes közötti szakaszának hosszát értjük.

c)      Pont és sík távolságán a pontból a síkra bocsátott merőleges pont és sík közötti szakaszának hosszát értjük.

d)      Párhuzamos síkok távolságán az egyik sík valamely pontjából a másik síkra bocsátott merőleges két sík közötti szakaszának hosszát értjük.


Mit értünk két vagy több egész szám legkisebb közös többszörösén? Hogyan határozható meg?

Két vagy több egész szám legkisebb közös többszöröse az a legkisebb pozitív egész szám, amely az adott számok mindegyikének többszöröse. A és B egész számok legkisebb közös többszörösének jele:  [A,B]
Meghatározása:  a számokat prímtényezőkre bontjuk, és azokat a prímszámokat, amelyek valamelyik számban szerepelnek, az előforduló legnagyobb hatványkitevőre emeljük és összeszorozzuk.


Mit értünk két vagy több egész szám legnagyobb közös osztóján? Hogyan határozható meg?

Két vagy több egész szám legnagyobb közös osztója az a legnagyobb egész szám, amely az adott számok mindegyikének osztója. A és B egész számok legnagyobb közös osztójának jele:  (A,B)
Meghatározása:  a számokat prímtényezőkre bontjuk, és azokat a prímszámokat, amelyek mindegyik számban szerepelnek, az előforduló legkisebb hatványkitevőre emeljük és összeszorozzuk.


Mit jelent az, hogy a valós számokra értelmezett összeadás és szorzás kommutatív, asszociatív, illetve a szorzás az összeadásra nézve disztributív?

Az összeadás kommutatív: bármely A és B valós számokra igaz, hogy: A + B = B + A
Az összeadás asszociatív: bármely A, B és C valós számokra igaz, hogy:  (A + B) + C = A + (B + C)
A szorzás kommutatív: bármely A és B valós számokra igaz, hogy: A × B = B × A
A szorzás asszociatív: bármely A, B és C valós számokra igaz, hogy:  (A × B) × C = A × (B × C)
A szorzás az összeadásra nézve disztributív: bármely A, B és C valós számokra igaz, hogy: (A + B) × C = A × C + B × C


Osztályozza a síknégyszögeket az oldalak párhuzamossága az oldalak egyenlősége szerint!

a)  Az oldalak párhuzamossága szerint: Trapézoknak nevezzük az olyan síknégyszögeket, amelyeknek van két párhuzamos oldaluk. Szimmetrikus trapézok az olyan trapézok, amelyeknek van a párhuzamos oldalakra merőleges szimmetriatengelyük. Paralelogrammák azok a trapézok, amelyeknek két-két párhuzamos oldaluk van.
b)  Az oldalak egyenlősége szerint: Paralelogrammáknak nevezzük az olyan síknégyszögeket, amelyeknek két-két szemközti oldaluk egyenlő. Közülük azok, amelyeknek minden oldaluk egyenlő: rombuszok. Deltoidoknak nevezzük az olyan síknégyszögeket, amelyeknek két-két szomszédos oldaluk egyenlő.